¿Dados los siguientes puntos en el espacio: P1=(3,−1,−2);P2=(3,1,−4);P3=(−3,0,3) ?

A = P₁ = (3, -1, -2)

B = P₂ = (3, 1, -4)

C = P₃ = (-3, 0, 3)

Considerando A como punto de partida primero formamos dos vectores no colineales que sean paralelos al plano:

AB = B - A = <0, 2, -2>

AC = C - A = <-6, 1, 5>

Para obtener un vector normal al plano podemos tomar en cuenta que el producto vectorial de dos vectores resulta en un vector simultáneamente ortogonal a esos dos vectores.

n = AB ⨯ AC

n = det (  i     j   k )

    (  0   2  -2 ) 

    ( -6  1    5 )

n = i * 2 * 5 + j * (-2) * (-6) + k * 0 * 1 - [(-6) * 2 . k + 1 * (-2) . i + 5 * 0 * j]

n = 10i + 12j - [-12k - 2i]

n = 12i + 12j + 12k

O

n = <12, 12, 12>

La ecuación general del plano es:

ax + by + cz + d = 0 

Donde n = <a, b, c> es un vector normal al plano.

12x + 12y + 12z + d = 0 

Para encontrar el valor de d, sustituimos cualquiera de los puntos en la ecuación.

12 * (-3) + 12 * 0 + 12 * 3 + d = 0 

d = 0 

La ecuación queda como:

12x + 12y + 12z = 0 

x + y + z = 0 

Hola. La ecuación de un plano se puede escribir como:

ax + by + cz = d

Reemplazamos los tres puntos y obtenemos tres ecuaciones:

3a - b - 2c = d (*)

3a + b - 4c = d

-3a + 3c = d

Sumamos las dos primeras para eliminar b:

6a - 6c = 2d

-3a + 3c = d

La segunda ecuación la multiplicamos por -2:

6a - 6c = 2d

6a - 6c = -2d

De esta manera vemos que d=0 y que a=c. Teniendo esto en cuenta escribimos de nuevo la ecuación (*):

a - b = 0

Por lo tanto a=b. La ecuación del plano entonces queda así:

ax + ay + az = 0

Se puede ver que a "a" podemos darle cualquier valor, por ejemplo a=1.

La respuesta final es entonces:

x + y + z = 0