¿Integral tan^5 x sec^7 x dx ayuda 5 ******?

Hola,

escribamos la integral como:

∫ tan⁴x sec⁶x (tanx secx) dx =

∫ (tan²x)² sec⁶x (tanx secx) dx =

(en donde tanx secx es la derivada de secx)

apliquemos la identidad tan²x = sec²x - 1:

∫ (sec²x - 1)² sec⁶x (tanx secx) dx =

(desarrollando)

∫ (sec⁴x - 2sec²x + 1) sec⁶x (tanx secx) dx =

∫ (sec¹ºx - 2sec⁸x + sec⁶x) (tanx secx) dx =

sea:

secx = u

(diferenciando ambos miembros)

d(secx) = du

tanx secx dx = du

obteniendo, por sustitución:

∫ (sec¹ºx - 2sec⁸x + sec⁶x) (tanx secx) dx = ∫ (u¹º - 2u⁸ + u⁶) du =

(partiendo y sacando las constantes)

∫ u¹º du - 2 ∫ u⁸ du + ∫ u⁶ du =

[1/(10+1)] u¹º ⁺ ¹ - 2 [1/(8+1)] u⁸ ⁺ ¹ + [1/(6+1)] u⁶ ⁺ ¹ + C =

(1/11)u¹¹ - (2/9)u⁹ + (1/7)u⁷ + C

en fin sustituyamos nuevamente secx a u, concluyendo con:

(1/11)sec¹¹x - (2/9)sec⁹x + (1/7)sec⁷x + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!