¿Integral CSC^6 x dx ayuda 5 estrellas ***** ?

Hola,

escribamos la integral como:

∫ (csc²x)² csc²x dx =

apliquemos (al primer csc²x) la identidad csc²x = cot²x + 1:

∫ (cot²x + 1)² csc²x dx =

(desarrollando)

∫ (cot⁴x + 2cot²x + 1) csc²x dx =

pongamos:

cotx = u

(diferenciando ambos miembros)

d(cotx) = du

- csc²x dx = du

csc²x dx = - du

obteniendo, por sustitución:

∫ (cot⁴x + 2cot²x + 1) csc²x dx = ∫ (u⁴ + 2u² + 1) (- du) =

∫ (- u⁴ - 2u² - 1) du =

(partiendo en tres integrales y sacando las constantes)

- ∫ u⁴ du - 2 ∫ u² du - ∫ du =

- [1/(4+1)] u⁴ ⁺ ¹ - 2 [1/(2+1) u² ⁺ ¹ - u + C =

- (1/5)u⁵ - (2/3)u³ - u + C

sustituyamos nuevamente cotx a u, concluyendo con:

- (1/5)cot⁵x - (2/3)cot³x - cotx + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!

csc(x) = 1/sen(x)

la integral seria

[ - ( 8 sen(x)^4 + 4sen(x)^2+12) * cos(x) ] / 15 sen (x)^5