¿Tengo una pregunta ¿La definición de límite es lo mismo que la regla de los cuatro pasos? ¿Por qué? ?

Es así.

La  derivada  de  una  función  también  se  puede  obtener  como  el  límite  del cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos

.............. ................. f(x+Δx) - f(x)

f´(x) = lim (Δx→0) = -----------------

............. .................. ......... Δx

El procedimientoen este caso consiste en los pasos siguientes:

1.Se da un incremento Δx a la variable independiente x

2.Se obtiene el incremento correspondiente a  la función

f(x+Δx) - f(x)

3.Se obtiene el cociente de los incrementos

f(x+Δx) - f(x) 

-----------------

........ Δx

4.Se calcula el límite del cociente de incrementos

.............. ...... f(x+Δx) - f(x)

lim (Δx→0) = -----------------

............. ............... Δx

y esto proporciona la derivada de f(x)