¿Ayuda con calculo :/ Doy 10 puntos y 5 Estrellas?

∫(x^2+1)^(1/2)/x dx

haces x = tgθ

dx = sec^2θdθ

(x^2+1)^(1/2) = (tg^2θ+1)^(1/2) = secθ

∫(secθ/tgθ)*sec^2θ dθ

Se sabe que tgθ = senθ/cosθ, ctgθ = cosθ/senθ

ademas secθ = 1/cosθ

y cscθ = 1/senθ

∫(1/cosθ)*(cosθ/senθ)*sec^2θ = ∫cscθ*sec^2θ dθ

Ahora se hace integracion por partes haciendo:

u = cscθ

du = cscθ*ctgθ dθ

dv = sec^2θ dθ

v = ∫sec^2θ dθ

v = tgθ

Ahora segun la formula de integracion por partes:

∫udv = uv - ∫vdu

∫cscθ*sec^2θ dθ = cscθ*tgθ - ∫tgθ*cscθ*ctgθ dθ

= cscθ*tgθ - ∫cscθ dθ

= (1/senθ)*(senθ/cosθ) - ∫cscθ dθ

= (1/cosθ) - lnIcscθ+ctgθI

Pero tgθ = x. De ahi se sacan el resto de funciones trigonometricas

cosθ = 1/(1+x^2)^(1/2)

= (1+x^2)^(1/2) - lnI(1+x^2)^(1/2)/x + 1/x)

= (1+x^2)^(1/2) - lnI((1+x^2)^(1/2)+1)/xI

Utilizando la propiedad de logaritmo:

ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

= (1+x^2)^(1/2) - lnI((1+x^2)^(1/2)+1) + lnIxI + C ------------>Respuesta

okk

A ver:

Tu expresión es:

(x^2 + 1 ) / x dx

La ponemos en esta forma:

y=∫(x² + 1 )*(1/x) dx

y=∫ [(x²+1)/x] dx

y=∫xdx+∫(1/x)dx,,,,,,(1)

∫(1/x)dx,,,,,,,,,, es de la forma,,,,, ∫dv/v=lnv+c

efectuando (1)

y=x²/2+lnx+C.....Respuesta

Suerte

Cuglier